結論から書きます。ドメインとサーバーは、制作を発注した本人（会社であれば会社、個人事業であれば本人）の名義とアカウントで契約してください。制作会社や制作者の名義・アカウントで契約してもらう形は避けるべきです。
名義を預けると何が起きるか
ドメインもサーバーも、契約名義の人物・組織が登録者・契約者です。制作会社の名義で契約すると、登録者・契約者は発注者ではなく制作会社になります。管理画面へのアクセス権も、解約や移管の権限も制作会社側にあります。普段はそれで問題が表面化しませんが、次のような場面で困ります。
- 制作会社と連絡が取れなくなった（廃業、担当者の退職、音信不通）
- 他の制作会社に乗り換えたいが、ドメインやサーバーの管理画面にログインできない
- ドメインの契約更新が止まり、気づいたときには第三者に取得されていた
- 制作会社の他の顧客のトラブルで、共有していたサーバーごと止まった
特にドメインは、失効した後もしばらくは登録事業者側で復旧できる猶予期間が設けられていますが、その期間を過ぎて第三者に取得されると、事実上取り戻せません。長年使ってきたサイトのURLも、名刺やチラシに刷った表記も、すべて作り直しになります。サーバーについても、契約者情報の連絡先が制作会社になっていると、支払いの案内や解約通知が制作会社にしか届かず、発注者が気づけない、ということも起こり得ます。
「任せた方が楽」に潜む誤解
ドメインやサーバーの契約は、たしかに手続きが煩雑に感じられます。専門用語も多く、制作会社に任せたくなる気持ちは自然です。しかし「契約作業を代行してもらうこと」と「名義を渡すこと」は別の話です。契約自体は発注者名義で行い、初期設定やその後の運用作業だけを制作会社に依頼する、という分担は普通にできます。発注者名義のアカウントに招待してもらう形は一般的で、対応できる制作会社は多いはずです。
もし「弊社名義でまとめて契約するのが弊社のルールです」と言われた場合は、理由を確認したほうがよいです。正当な事情がある場合もありますので、理由とあわせて、契約終了時にどう移管できるのかを確認しておくと安心です。
実務上どう進めるか
ドメインは、ドメイン登録事業者（レジストラ）で、発注者自身のアカウントを作って取得します。サーバーやホスティングサービスも同様に、発注者名義のアカウントを用意します。制作会社には、そのアカウントに必要な範囲でアクセスしてもらい、設定や公開作業を進めてもらいます。作業が終わった後も、ログイン情報一式（登録事業者名、アカウントのメールアドレス、可能であればログインID）は発注者側で保管しておきます。
なお、どのようなサーバー構成を選ぶかによっても、運用上のリスクは変わってきます。管理画面の有無や、日々のメンテナンスがどれだけ必要になるかは、契約の名義とは別の論点としてセキュリティへの考え方にまとめています。契約名義を正しく整えることと、構成そのものの安全性を高めることは、両方セットで考えておくとよいです。